二、部分平均与全体平均

　　例9某次考试，21位男同学的平均成绩是82分，19位女同学的平均成绩是87分，全体同学的平均成绩是多少？

　　解：有两种求法：

　　方法1

　　男同学的总分数 82×21=1722，

　　女同学的总分数 87×19=1653，

　　全体同学的总分数 1722+1653=3375，

　　全体同学的人数 21+19=40，

　　全体同学的平均成绩3375÷40=84.375.

　　方法2

　　以男同学的平均成绩82分作为计算的基数，女同学每人平均多（87-82）=5（分），19人多了5×19=95（分），现在平均分摊给全体40人.

　　因此，全体同学的平均成绩是

　　82+（87-82）×19÷40

　　=82+95÷40

　　=84.375（分）.

　　注意 从部分的平均数，来求全体的平均数，不能简单地把部分平均数再进行求平均，如例9，（82+87）÷2=83.5，它不是全体的平均成绩.这一基本概念，大家必须弄清楚.

　　例10 甲班52人，乙班48人.语文考试中，两个班全体同学的平均成绩是78分，乙班的平均成绩要比甲班的平均成绩高5分.两个班的平均成绩各是多少？

　　解：两个班的全体人数是

52+48=100（人）.

　　他们的分数总和是

78×100=7800（分）.

　　以甲班同学的平均成绩为基数，乙班每人平均多了5分，如果乙班的分数总和少了5×48=240（分），乙班的平均成绩就与甲班的一样，因此甲班的平均成绩是

（7800-240）÷100=75.6（分）.

　　乙班的平均成绩是

75.6+5=80.6（分）.

　　例11女同学的人数是男同学人数的一半，男同学的平均体重是41千克，女同学的平均体重是35千克，全体同学的平均体重是多少千克？

　　解：题目没有告诉我们女同学或男同学有多少人，怎么办？

　　设全体女同学是1组人，那么男同学就是2组人.

　　女同学的体重总和： 35×1组人数.

　　男同学的体重总和： 41×2组人数.

　　全体总人数：（1+2）组人数.

　　全体同学平均体重是

（35×1+41×2）÷（1+2）=39（千克）.

　　上面算式中每一项都有“组人数”，因此可以约掉.实际上和“1个女同学与2个男同学”的情形一样.

　　还有一种计算方法，以女同学体重为基数，2组人每人都多（41-35）千克，平摊给（2+1）组人，因此全体同学的平均体重是

35+（41-35）×2÷（2+1）=39（千克）.

　　例12 某班有50人，在一次数学考试后，按成绩排了名次.结果，前30名的平均分数比后20名的平均分数多12分.一位同学对“平均”的概念不清楚，他把前30名的平均成绩，加上后20名的平均成绩，再除以2，错误地认为这就是全班的平均成绩.这样做，全班的平均成绩是提高了，还是降低了？请算出提高多少或降低多少.

　　解：全班平均成绩降低了.

　　按照这位同学的计算，相当于把前30名同学比后20名同学平均多出的12分作了平分.因此相当于前30名同学每人少了6分，后20名同学每人多了6分，合起来全班的总分就少了

30×6-20×6=60（分）.

　　全班的平均成绩也就降低了

60÷（30+20）=1.2（分）.

　　例13 某学校入学考试，确定了录取分数线.报考的学生中，只录取了

　　均分比录取分数线低26分.所有考生的平均成绩是70分.那么录取分数线是多少？

　　我们把录取学生的人数算作1，没有被录取的人数算作3.

　　以录取分数线作为基数，没有被录取的考生总共少了26×3分，录取的学生总共多了10×1分，合起来，总共少了

26×3-10×1（分）.

　　对所有考生来说，每人平均少了

（26×3-10×1）÷（3+1）=17（分）.

　　也就是每一考生的平均分70（分）比录取分数线少了17（分），因此录取的分数线是

70+17=87（分）.

　　注意 这道题可检验如下：

　　没有被录取的考生的平均成绩是87-26=61（分），被录取考生的平均成绩是87+10=97（分）.全体考生的平均成绩是

61+（97-61）÷（3+1）=70（分），

　　或

（61×3+97×1）÷（3+1）=70（分）.

　　由此就知道，上面解答是正确的.

　　例14某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人.现在将一等奖中最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分.那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？

　　　解：根据题意

　　前六人平均分=前十人平均分+3.

　　这说明在计算前十人平均分时，前六人共多出3×6=18（分），来弥补后四人的分数，因此后四人的平均分比前十名平均分少

18÷4=4.5（分）.

　　当后四人调整为二等奖后，这时二等奖共有20+4=24（人），平均每人提高了1分，这由调整进来的四人来供给，每人平均供给

24÷4=6（分）.

　　后四人平均分=（原二等奖平均分）+6.

　　与前面算出的前六人平均分比较，就知原来一等奖平匀分比原来二等奖平均分多

4.5+6=10.5（分）.

　　我们可以画出示意图来说明上面的计算.

　　从前十名来说，前六名用二条虚线所夹部分，来弥补后四人的二条虚线所夹部分这一块的不足.

　　对二等奖来说，可以画出如下示意图：