在日常生活中,做某一件事,制造某种产品,完成某项任务,完成某项工程等等,都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量,它们之间的基本数量关系是
工作量=工作效率×时间
在数学中,探讨这三个数量之间关系的应用题,我们都叫做“工程问题”
举一个简单例子
一件工作,甲做10天可完成,乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成?
一件工作看成1个整体,因此可以把工作量算作1.所谓工作效率,就是单位时间内完成的工作量,我们用的时间单位是“天”,1天就是一个单位,
再根据基本数量关系式,得到 所需时间=工作量÷工作效率 =6(天)
两人合作需要6天
这是工程问题中最基本的问题,这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的
为了计算整数化(尽可能用整数进行计算),如第三讲例3和例8所用方法,把工作量多设份额.还是上题,10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份,乙每天完成2份.两人合作所需天数是
30÷(3+ 2)= 6(天)
∶2.或者说“工作量固定,工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比,从比例角度考虑问题,也 需时间是
因此,在下面例题的讲述中,不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法,而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”,也许会使我们的解题思路更灵活一些
一、两个人的工程问题
标题上说的“两个人”,也可以是两个组、两个队等等的两个集体
例1 一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成.现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作?
答:乙需要做4天可完成全部工作
解二:9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份。甲每天完成2份,乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是
(18- 2 × 3)÷ 3= 4(天)
解三:甲与乙的工作效率之比是
6∶ 9= 2∶ 3
甲做了3天,相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4(天)
例2 一件工作,甲、乙两人合作30天可以完成,共同做了6天后,甲离开了,由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天?
解:共做了6天后,
原来,甲做 24天,乙做 24天,
现在,甲做0天,乙做40=(24+16)天
这说明原来甲24天做的工作,可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率
答:甲或乙独做所需时间分别是75天和50天
例3 某工程先由甲独做63天,再由乙单独做28天即可完成;如果由甲、乙两人合作,需48天完成.现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么乙还需要做多少天?
解:先对比如下:
甲做63天,乙做28天;
甲做48天,乙做48天
就知道甲少做63-48=15(天),乙要多做48-28=20(天),由此得出甲的
甲先单独做42天,比63天少做了63-42=21(天),相当于乙要做
因此,乙还要做28+28= 56 (天)
答:乙还需要做 56天
例4 一件工程,甲队单独做10天完成,乙队单独做30天完成.现在两队合作,其间甲队休息了2天,乙队休息了8天(不存在两队同一天休息)问开始到完工共用了多少天时间?
余下的工作量是两队共同合作的,需要的天数是 2+8+ 1= 11(天)
答:从开始到完工共用了11天
解二:设全部工作量为30份.甲每天完成3份,乙每天完成1份.在甲队单独做8天,乙队单独做2天之后,还需两队合作
(30- 3 × 8- 1× 2)÷(3+1)= 1(天)
解三:甲队做1天相当于乙队做3天
在甲队单独做 8天后,还余下(甲队) 10-8= 2(天)工作量.相当于乙队要做2×3=6(天)乙队单独做2天后,还余下(乙队)6-2=4(天)工作量。
4=3+1, 其中3天可由甲队1天完成,因此两队只需再合作1天
例5 一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做,其间甲队休息了3天,乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天?
答:乙队休息了5天半
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